Nous n'avons traité jusqu'à présent que le " PGCD " ou le " PPCM " d'un couple d'entiers relatifs. Nous allons voir que cette notion se généralise à un n-uplet d'entiers naturels. Le cours qui va suivre n'est donc, en quelque sorte, qu'une redite des deux paragraphes précédents; en fait, les notions de PGCD et PPCM d'un couple d'entiers relatifs est la plus usitée, notamment dans les deux premières années post-bac, où les programmes ne s'intéresse souvent qu'à elles.
Nous avons donc décidé de séparer ces deux
notions. Pour ceux qui utilisent cet article comme cours pour
leurs débuts en arithmétique, ce paragraphe n'est
pas indispensable et ils peuvent le passer pour y revenir plus
tard s'ils sont intéressés, mais nous conseillons
aux autres sa lecture; d'autre part, le fait d'avoir déjà
traité le cas des couples d'entiers ne peut en aucun cas
être une perte de temps : l'habitude des démonstrations
et des résultats ne fera qu'en faciliter la compréhension.
Dans toute la suite de ce chapitre, n sera un entier naturel strictement supérieur à 1.
Nous allons tout d'abord généraliser les définitions
de PGCD et de PPCM, puis nous verrons ce que devient la notion
de primalité, dans le cas n>2.
P.G.C.D.
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
Il existe un unique entier positif d tel que a1Z+...+a2Z=dZ.
Voir démonstration
On le note d = PGCD(a1,...,an).
P.P.C.M.
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
Il existe un unique entier positif m tel que a1Z...anZ
= mZ
Voir démonstration
Extension de la notion de primalité
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
Si PGCD(a1, ..., an) = 1, les (ai) sont dit premiers dans leur ensemble
Si, i j, PGCD(ai,aj) = 1, les (ai)
sont dits premiers deux à deux.
- Proposition :
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
Posons d = PGCD(a1, ..., an).
d est le plus grand entier divisant, pour tout i appartenant
à [[1, n]], ai.
Voir démonstration
- Proposition :
Soient a1, ..., an,n entiers relatifs.
Posons m = PPCM(a1, ..., an).
M est le plus petit entier multiple, pour tout i appartenant
à [[1, n]], ai.
Voir démonstration
- Proposition :
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
Si les a1, ..., an sont premiers deux à
deux, alors ils sont premiers dans leur ensemble
Voir démonstration
Remarque :
La réciproque est fausse.
En effet, si on considère
Proposition :
Soient a1, ..., an n entiers relatifs.
Soit a un entier relatif.
Alors PGCD(a.a1,...,a.an) = |a|.PGCD(a1,
..., an)
Voir démonstration
On a de même :
PPCM(a.a1, ...,a.an) = |a|.PPCM(a1, ..., an)
Voir démonstration
Théorème de Bezout généralisé.
Soient a1, ..., an n entiers relatifs.
Alors, (a1, ..., an) sont premiers dans leur ensemble si et seulement s'il existe u1, .., un, n entiers relatifs tels que :
a1.u1 + ... + an.un
= 1.
Voir démonstration
Relation entre premiers deux à deux et premiers entre eux.
Proposition :
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs
Si les (a1, ..., an) sont premiers deux à deux, alors
PPCM(a1, ..., an) = |a1.a2.
...,an|
? ? ? Remarque :
Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.
On n'a plus la relation :
PPCM(a1, ..., an).PGCD(a1, ..., an) = | a1.a2...an |.
En effet,