Définition :
On appelle relation d'ordre sur un ensemble E toute relation binaire R sur E réflexive, transitive et antisymétrique. On dit que (E,R) est un ensemble ordonné.
Exemple :
La relation
définie sur l'ensemble R des nombres réels est une relation d'ordre.
Contre-exemple :
La relation < définie sur R n'est pas une relation d'ordre; en effet, elle n'est pas réflexive.
Exemple :
Si E est un ensemble d'ensembles, la relation d'inclusion est une relation d'ordre sur E. Cet exemple nous amène à introduire les notions d'ordre total et d'ordre partiel.
Définition :
Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre <.
On dit que l'ordre est total, ou que E est totalement ordonné par <, si
(x,y)
EČ , x<y ou y<x. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.
Définitions :
Soit (E,<) un ensemble ordonné, soit A une partie de E.
Remarque :
Dans la suite de ce paragraphe, on considérera uniquement les majorants, éléments maximaux et plus grands éléments; des résultats analogues existent pour les minorants, éléments minimaux et plus petits éléments.
Proposition 1 :
Soit (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Si A admet deux élément maximaux m et m' comparables (c'est à dire m<m' ou m'<m), alors m=m'.
Proposition 2 :
Soient (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Alors A admet au plus un plus grand élément.
Notation :
Si A admet un plus grand élément (resp. un plus petit élément), on le note max A (resp. min A).
Définition :
Soient (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E.