Exercice d'arithmétique

-Enoncé

Soit n un entier naturel.

Montrer que 30 | n5 - n

-Résolution

Décomposons 30 en produit de facteurs premiers; il vient 30 = 5.3.2

Comme chaque nombre premier intervenant dans la décomposition de 30 a une valuation de 1, il suffit de montrer que chaque nombre premier divise n5 - n, pour que leur produit qui est alors 30, le divise.

Montrons que 2 | n5 - n

On a n5 - n = n.(n4 - 1)

Si n est pair, on a 2 | n, donc 2 | n.(n4 - 1) d'où 2 | n5 - n.

Sinon, n est impair et alors n4 aussi donc n4 - 1 est pair.

Il vient donc 2 | n4 - 1, soit 2 | n5 - n.

Finalement, dans tous les cas 2 | n5 - n

Montrons que 3 | n5 - n

On a n5 - n = n.(n4 - 1) = n.(n² - 1).(n² + 1) = (n3 - n).(n² + 1)

3 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat

n N, n3 n [3]

Soit 3 | n3 - n et alors 3 | n5 - n

Remarque :

On pouvait s'en sortir sans employer le petit théorème de Fermat, en considérant simplement les classes modulo 3 de n, et s'apercevoir que 3 divisait alors obligatoirement n ou n2 - 1 (donc n3 - n ).

En effet

Soit n 0 [3] donc 3 | n.

Soit n 1 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1

Soit n 2 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1

Montrons que 5 | n5 - n

5 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat,

n N, n5 n [5]

D'où 5 | n5 - n

(Cette fois-ci, l'étude des différentes classes modulo 5 devient plus fastidieuse...)

Finalement, comme 2, 3 et 5 sont premiers deux à deux, leur produit divise n5 - n

D'où 30 | n5 - n

Auteur : Pascal Audoux

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