Enoncé:
Soit (E,~) un ensemble muni d'une relation d'équivalence.
L'ensemble des classes d'équivalence forme une partition de
l'ensemble E.
Démonstration:
x
E , x~x donc x
cl(x): les classes d'équivalence sont toutes
non vides et tout élément de E appartient à
une classe d'équivalence.
- Supposons que deux classes d'équivalence cl(x) et cl(y)
ne soient pas disjointes. Alors
z
cl(x)
cl(y). C'est à dire que par
définition des classes x~z et y~z. La relation ~
étant transitive, il vient
t
cl(x) , t~x donc t~z et t~y, d'où t
cl(y) et cl(x)
cl(y); par symétrie de
rôles entre x et y, on a également cl(y)
cl(x), d'où cl(y)=cl(x), CQFD.