Exercice: Les automorphismes du corps R

Arnaud Gomes-do-Vale

Enoncé

Déterminer tous les automorphismes du corps R des nombres réels.

Corrigé

Soit f un automorphisme du corps R.

Pour commencer, étudions l'action de f sur le sous-corps Q de R. Cette étude ne dépend que des propriétés du morphisme f. Ensuite, nous utiliserons certaines propriétés de R pour terminer notre étude.

Action de f sur Q

Action de f sur Z

Par définition, f(1)=1.

De plus, f commute à l'addition :

\begin{displaymath}\forall n \in \mathbf{N} , f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)+1\end{displaymath}

Il vient :

\begin{displaymath}\forall n \in \mathbf{N} , f(n)=n\end{displaymath}

De plus, f(-1)=-1 :

f(-1)=f(-1)+f(1)-f(1)=f(-1+1)-f(1)=f(0)-f(1)=0-1=-1

Enfin, la commutativité de f à l'addition donne :

\begin{displaymath}\forall n \in \mathbf{Z} , f(n)=f(n+1-1)=f(n+1)+f(-1)=f(n+1)-1\end{displaymath}

D'où :

\begin{displaymath}\boxed{\forall n \in \mathbf{Z} , f(n)=n}\end{displaymath}

Ce résultat permet de plus d'affirmer que f est Z-linéaire :

\begin{displaymath}\forall x \in \mathbf{R} , \forall n \in \mathbf{N} ,
f(nx)=f(n)f(x)=nf(x)\end{displaymath}

Action de f sur $\mathbf{Q}\backslash\mathbf{Z}$

Soit q un entier non-nul quelconque. On a:

1=f(1)=f(q/q)=f(q)f(1/q)=qf(1/q)

D'où :

\begin{displaymath}\forall q \in \mathbf{Z}^* , f(1/q)=1/q\end{displaymath}

f étant Z-linéaire, il vient :

\begin{displaymath}\forall p \in \mathbf{Z} , \forall q \in \mathbf{Z}^* ,
f(p/q)=pf(1/q)=p/q\end{displaymath}

Finalement :

\begin{displaymath}\boxed{\forall x \in \mathbf{Q} , f(x)=x}\end{displaymath}

Monotonie de f

Nous savons maintenant que Q est invariant par f. Il serait agréable que ce résultat se généralise à R tout entier. Toutefois, f n'étant pas supposé continu, nous ne pouvons utiliser aucune propriété topologique pour le prouver. Nous allons donc utiliser la structure de corps ordonné de R.

Montrons que f est une application croissante.

Pour cela, il suffit de montrer que $f(\mathbf{R}_+)\subset\mathbf{R}_+$; en effet, on aura alors :

\begin{displaymath}\forall (x,y) \in \mathbf{R}^2 : x \le y \Longleftrightarrow ...
...eftrightarrow 0 \le
f(y)-f(x) \Longleftrightarrow f(x) \le f(y)\end{displaymath}

f est effectivement croissante car dans R, l'ensemble des nombres positifs est exactement celui des carrés. En effet, si x est un réel quelconque, on a :

\begin{displaymath}x \geq 0 \Longleftrightarrow \exists y \in \mathbf{R} , x=y^2\end{displaymath}

Alors :

\begin{displaymath}f(x)=f(y^2)=f(y)^2 \text{~et~} f(x) \geq 0\end{displaymath}

Conclusion de la démonstration

Nous savons que f est une application croissante qui laisse Q invariant. Reste à trouver une caractérisation des réels nous permettant d'utiliser ces propriétés.

Une caractérisation satisfaisante est donnée par les segments emboîtés. Tout réel x peut être caractérisé par deux suites de rationnels, l'une croissante, l'autre décroissante, de la façon suivante :

\begin{displaymath}\forall x\in \mathbf{R} , \exists (p_n)_{n\in\mathbf{N}} ,
(q...
...f{N} ,
(p_n)\text{~croissante, }(q_n)\text{~d\'{e}croissante, }\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}(q_n-p_n)=0 , \forall n \in \mathbf{N} ,
p_n \le x \le q_n\end{displaymath}


\begin{displaymath}\forall y \in \mathbf{R} : \forall n \in \mathbf{N} , p_n \le y \le
q_n \Longrightarrow y=x\end{displaymath}

Avec ces notations, comme Q est invariant par f, on a :

\begin{displaymath}\forall n \in \mathbf{N} , p_n \le f(x) \le q_n\end{displaymath}

D'où :

\begin{displaymath}\boxed{\forall x \in \mathbf{R} , f(x)=x}\end{displaymath}

L'identité est donc l'unique morphisme du corps R.

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Exercice: Les automorphismes du corps R

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The command line arguments were:
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The translation was initiated by Arnaud Gomes-do-Vale on 1998-10-03


Arnaud Gomes-do-Vale
1998-10-03