Relations d'ordre
Ensembles ordonnés

I. Généralités
II. Ordre partiel, ordre total
III. Eléments particuliers d'un ensemble ordonné

I. Généralités

Définition :

On appelle relation d'ordre sur un ensemble E toute relation binaire R sur E réflexive, transitive et antisymétrique. On dit que (E,R) est un ensemble ordonné.

Exemple :

La relation définie sur l'ensemble R des nombres réels est une relation d'ordre.

Contre-exemple :

La relation < définie sur R n'est pas une relation d'ordre; en effet, elle n'est pas réflexive.

Exemple :

Si E est un ensemble d'ensembles, la relation d'inclusion est une relation d'ordre sur E. Cet exemple nous amène à introduire les notions d'ordre total et d'ordre partiel.

II. Ordre partiel, ordre total

Définition :

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre <.

On dit que l'ordre est total, ou que E est totalement ordonné par <, si (x,y)EČ , x<y ou y<x. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.

III. Eléments particuliers d'un ensemble ordonné

Définitions :

Soit (E,<) un ensemble ordonné, soit A une partie de E.

Remarque :

Dans la suite de ce paragraphe, on considérera uniquement les majorants, éléments maximaux et plus grands éléments; des résultats analogues existent pour les minorants, éléments minimaux et plus petits éléments.

Proposition 1 :

Soit (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Si A admet deux élément maximaux m et m' comparables (c'est à dire m<m' ou m'<m), alors m=m'.

Voir démonstration

Proposition 2 :

Soient (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Alors A admet au plus un plus grand élément.

Voir démonstration

Notation :

Si A admet un plus grand élément (resp. un plus petit élément), on le note max A (resp. min A).

Définition :

Soient (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E.


Première version : 29/01/97
Auteur : Arnaud Gomes-Do-Vale (e-mail : arnaud@folium.eu.org)
Source : Cours de mathématiques supérieures de M Coulet (HX5 St-Louis 1994-95), Cours de mathématiques spéciales, T1:Algèbre (Ramis, Deschamps, Odoux; ed. Masson)
Relecture : aucune pour l'instant