Soit (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Si A admet deux élément maximaux m et m' comparables (c'est à dire m<m' ou m'<m), alors m=m'.
En effet, on peut supposer m<m' (quitte à intervertir m et m'); alors, m étant maximal, il vient m'<m, d'où m=m'.
Soient (E,<) un ensemble ordonné et A une partie de E. Alors A admet au plus un plus grand élément.
Supposons que A admette deux plus grands éléments m et m'.
m est un plus grand élément de A, donc un majorant de A; comme m' est un plus grand élément de A, donc un élément de A, on a m'<m. Par symétrie de rôles entre m et m', on a également m<m'. La relation d'ordre < est antisymétrique donc m=m'.