Arnaud Gomes-do-Vale
Déterminer tous les automorphismes du corps R des nombres réels.
Soit f un automorphisme du corps R.
Pour commencer, étudions l'action de f sur le sous-corps Q de R. Cette étude ne dépend que des propriétés du morphisme f. Ensuite, nous utiliserons certaines propriétés de R pour terminer notre étude.
Par définition, f(1)=1.
De plus, f commute à l'addition :
Ce résultat permet de plus d'affirmer que f est
Z-linéaire :
Soit q un entier non-nul quelconque. On a:
Nous savons maintenant que Q est invariant par f. Il serait agréable que ce résultat se généralise à R tout entier. Toutefois, f n'étant pas supposé continu, nous ne pouvons utiliser aucune propriété topologique pour le prouver. Nous allons donc utiliser la structure de corps ordonné de R.
Montrons que f est une application croissante.
Pour cela, il suffit de montrer que
;
en effet, on aura alors :
f est effectivement croissante car dans
R, l'ensemble des
nombres positifs est exactement celui des carrés. En effet, si x
est un réel quelconque, on a :
Nous savons que f est une application croissante qui laisse Q invariant. Reste à trouver une caractérisation des réels nous permettant d'utiliser ces propriétés.
Une caractérisation satisfaisante est donnée par les segments
emboîtés. Tout réel x peut être caractérisé
par deux suites de rationnels, l'une croissante, l'autre
décroissante, de la façon suivante :
L'identité est donc l'unique morphisme du corps R.
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The command line arguments were:
latex2html -split 0 -no_navigation morphisme.tex.
The translation was initiated by Arnaud Gomes-do-Vale on 1998-10-03