Equation différentielle

 

 

 

 

Ce chapitre est divisé en deux grandes parties : les équations linéaires et les équations ordinaires.

 

 

Equations différentielles linéaires

 

 

I) Equation différentielle d'ordre 1

 

Le but est de résoudre les équations du type : (E) y' + a(x) y = b(x)

où a et b sont deux fonctions continues d'un intervalle I dans c.

L'équation homogène associée à E est : y' + a(x) y = 0.

 

Définitions :

Une solution de E est une fonction y : J Ì I ® c dérivable sur J et vérifiant E.

Une solution maximale de E est une solution définie sur I.

 

Le problème de Cauchy associé est : où x0 et y0 sont données.

On parle aussi de problème avec conditions initiales.

 

Résolution de l'équation homogène :

On montre que les solutions sont les fonctions x ® K exp (- a(x) dx) où K est une constante réelle.

La seule solution pouvant s'annuler sur I est la fonction nulle.

 

Résolution de l'équation complète par la méthode de variation de la constante :

Dans la solution précédente, on remplace K par la fonction K(x) puis on injecte dans E. Après mise en facteur de K, la parenthèse vérifie l'équation homogène ce qui fait une bonne partie des termes s'éliminent et on obtient : K'(x) exp (- a(x) dx) = b(x). On en déduit alors K.

 

Théorème :

Les solutions de E s'écrivent : y = y0 + z où y0 est une solution particulière de E (c'est celle qu'on trouve par la méthode de variation de la constante) et z la solution général de l'équation homogène. L'ensemble des solutions de E est donc une droite affine.

 

Théorème de Cauchy - Lipschtiz :

Le problème de Cauchy admet une unique solution définie sur I. Toute solution définit sur JÌ I en est une restriction.

 

 

Cas particuliers :

Si y1 est une solution de y' + a(x) y = b1(x) et y2 est une solution de y' + a(x) y = b2(x) alors

e1 y1 + e2 y2 est une solution de E.

Il existe alors une solution particulière de la forme Q(x) exp (-ux) où Q est un polynôme :

deg Q = deg P si a ¹ u

deg Q = deg P + 1 si a = u.

 

Raccordement des solutions :

Pour résoudre l'équation : a(x) y' + b(x) y = c(x), on se place sur un intervalle où a ne s'annule pas.

Si cet intervalle est I, tout va bien.

Sinon, on essaye de recoller les solutions aux points d'annulations en cherchant des conditions sur les constantes. Il n'y a plus de conclusion possible sur la dimension de l'espace des solutions.

 

 

II) Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficient constants

 

Systèmes homogènes :

 

Soit X un vecteur colonne dont les coefficients sont des fonctions dérivables et A une matrice carrée à coefficients constants.

Le but est de résoudre le système différentiel X' = A.X.

La méthode est la suivante :

On diagonalise A : A = P.D.P-1 . On pose alors X = P.Y (on fait donc un changement de base).

On obtient : X' = A.X Û Y' = D.Y

On résout le 2eme système qui est trivial puis on en déduit X avec X = P.Y ce qui achève l'exercice.

On fait la même chose mais c'est plus difficile !

 

Théorème de Cauchy - Lipschitz :

AÎ Mn(k), triangulable sur k.

X0Î kn, toÎ r.

alors le problème de Cauchy : admet une unique solution définie sur r.

L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n.

 

Cas où A est n - nilpotente :

An = 0.Or X(n) = An.X donc X est un polynôme de degré n - 1 où les coefficients sont des vecteurs colonnes. Pour ceux qui savent : X = C0 exp (tA) avec C0Î rn.

 

 

 

 

Systèmes avec second membre :

 

X' = A.X + B(t) où B est un vecteur colonne et A est à coefficients constants.

 

 

 

III) Systèmes différentiel d'ordre 1 à coefficients non constants

 

Il s'agit de résoudre : X' = A(t).X + B(t), A étant une matrice 2*2 et B un vecteur colonne à deux lignes, leurs coefficient étant comme d'habitude continues.

 

Théorème de Cauchy - Lipschitz :

Si t ® A(t) et t ® B(t) sont continues sur un intervalle I et si X0Î k2 et t0Î I alors le problème de Cauchy : admet une unique solution maximale définie sur I.

 

Système homogène :

 

L'ensemble des solutions du système homogène est un sous - espace de dimension 2.

 

Proposition :

Si X1 et X2 sont deux solutions du système homogène, X1 = et X2 = et si on pose w(t) = alors : - soit w est nulle partout.

- soit w n'est jamais nulle sur I, ce qui équivaut à : (X1, X2) est une base de solution de l'équation homogène.

w est appelé le wronskien.

 

Système complet :

 

Comme d'habitude, la solution du système complet est la somme d'une solution particulière de l'équation complète et de la solution générale du système homogène.

Pour calculer la solution particulière si on connaît une base de solution de l'équation homogène, on utilise la méthode de variation des constantes :

on cherche une solution X sous la forme : X = f1(t) X1 + f2(t) X2.

Il ne reste plus qu'à injecter dans le système différentiel, utiliser le fait que X1 et X2 sont solutions du système homogène.

Tout calcul fait on trouve sur I :

et

ce qui permet d'achever la résolution.

On remarque qu'aucune méthode n'a été donnée pour trouver une base de solution du système homogène. Il n'y en a pas de général et il faut y aller au feeling (un changement de variable astucieux permet en général de se tirer d'affaire).

 

 

IV) Equation différentielle linéaire d'ordre 2

 

On cherche à résoudre : y'' + a(x) y' + b(x) y = c(x) où a, b, c sont des applications continues de I dans k.

 

Théorème de Cauchy - Lipschitz :

a, b, c : I ® k continues.

x0Î I ; y0, y1Î k.

Le problème de Cauchy : admet une unique solution définie sur I.

 

Equation homogène :

 

L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2.

 

Proposition :

Soient y1 et y2 deux solutions de l'équation homogène.

On pose : w(x) = .

Il y a deux cas possibles : - soit w est nulle partout sur I.

- soit w est partout non nulle sur I et alors (y1, y2) forme une base de solution de l'équation homogène.

 

Equation complète :

 

On utilise la méthode de variation des constantes.

Soit( y1, y2) une base homogène de solution.

On cherche les solutions de l'équation sous la forme : y = f1(x) y1 + f2(x) y2 avec :

y' = f1(x) y'1 + f2(x) y'2. Il faut absolument connaître cette condition.

On en déduit que y est solution si et seulement si : ce qui permet de trouver f1 et f2.

 

Lorsqu'on connaît une solution y0 de l'équation homogène qui ne s'annule pas, alors on cherche les solutions sous la forme : y = f(x) y0.

 

 

Cas des équation à coefficients constants :

 

a y'' + b y' + c y = f(x).

L'équation caractéristique est : a r² + b r + c = 0.

1er cas : il y a 2 solutions différentes r1 et r2 :

Les solutions de l'équation homogène sont les y = p1 exp (r1 x) + p2 exp (r2 x), p1, p2 constant.

2eme cas : il y a une solution double r :

Les solutions de l'équation homogène sont les y = (p x + m) exp (r x), p et m constant.

3eme cas : si a, b, c sont réelles et si les solutions sont complexes r1 = et que l'on cherche des solutions réelles alors les solutions sont les y = (p cos (b x) + m sin (b x)) exp (a x) avec r1 = a + i b.

 

Enfin si f(x) = P(x) exp(q x), P étant un polynôme, il existe une solution particulière de l'équation complète sous la forme : Q(x) exp (q x) avec deg Q = deg p si qÏ {r1, r2}

deg Q = deg P + 1 si q est racine simple de l'équation caractéristique.

deg Q = deg P + 2 si q est racine double.

 

 

 

 

 

 

 

 

FIN

 

Equations différentielles ordinaires

 

 

 

 

I) Equation d'ordre 1

 

Soit W un ouvert de r2.

Soit f : W ® r , C1 et telle que y' = f(x, y). On dit alors qu'on a une équation résolue en y'.

 

Théorème de Cauchy - Lipschitz :

f : W ® r , C1 sur l'ouvert W.

(x0, y0)Î W2.

Le problème de Cauchy : admet une unique solution maximale. Elle est définie sur un intervalle ouvert. Toute solution en est une restriction.

 

 

II) Techniques de résolution de quelques équations non linéaires

 

1) Equations associées à des formes différentielles exactes

 

Soit l'équation (E) : P(x, y) + Q(x, y) y' = 0 où P, QÎ C0(W, r), W ouvert de r².

On suppose que P(x, y) dx + Q(x, y) dy est une forme différentielle exacte W sur i.e. :

il existe U : W® r de classe C1 sur W telle que P = et Q = .

On peut alors écrire (E) :

Les solutions de (E) sont donc définie implicitement par la relation U(x, y) = cst (courbes de niveaux).

 

2) Equations à variables séparables

 

C'est la méthode utilisée en physique.

On l'utilise lorsqu'il est possible d'écrire l'équation sous la forme : p(y) dy = q(x) dx.

Pour cela, on écrit y' = dy/dx puis on passe tout ce qui dépend de x (resp. de y) du même côté.

Si on est en physique, on intègre bêtement (sans oublier les constantes d'intégration).

Si on fait des maths, on fait attention aux problèmes d'annulation.

 

3) Equations homogènes

 

On suppose que l'équation peut s'écrire : y' = f (y/x).

Les courbes intégrales sont alors invariantes par homothétie.

L'idée est de poser t(x) = y(x) / x. soit y' = t' x + t.

y' = f (y/x) Û t' x + t = f (t) Û t' = (f (t) - t)/x qui est une équation à variable séparable.

Après résolution, on obtient un paramétrage des solutions.

 

III) Equations d'ordre 2

 

Soit W un ouvert de r3.

Soit f : W ® r , C1 et telle que y'' = f(x, y, y'). On dit alors qu'on a une équation résolue en y''.

 

Théorème de Cauchy - Lipschitz :

f : W ® r , C1 sur l'ouvert W.

(x0, y0, y'0)Î W3.

Le problème de Cauchy : admet une unique solution maximale. Elle est définie sur un intervalle ouvert. Toute solution en est une restriction.

 

Il n'y a pas de méthode particulière au programme de Spé. Comme d'habitude, penser au changement de variable.

 

 

 

 

FIN