IV. Généralisation des notions de PGCD et PPCM

Nous n'avons traité jusqu'à présent que le " PGCD " ou le " PPCM " d'un couple d'entiers relatifs. Nous allons voir que cette notion se généralise à un n-uplet d'entiers naturels. Le cours qui va suivre n'est donc, en quelque sorte, qu'une redite des deux paragraphes précédents; en fait, les notions de PGCD et PPCM d'un couple d'entiers relatifs est la plus usitée, notamment dans les deux premières années post-bac, où les programmes ne s'intéresse souvent qu'à elles.

Nous avons donc décidé de séparer ces deux notions. Pour ceux qui utilisent cet article comme cours pour leurs débuts en arithmétique, ce paragraphe n'est pas indispensable et ils peuvent le passer pour y revenir plus tard s'ils sont intéressés, mais nous conseillons aux autres sa lecture; d'autre part, le fait d'avoir déjà traité le cas des couples d'entiers ne peut en aucun cas être une perte de temps : l'habitude des démonstrations et des résultats ne fera qu'en faciliter la compréhension.

Dans toute la suite de ce chapitre, n sera un entier naturel strictement supérieur à 1.

- Définitions

Nous allons tout d'abord généraliser les définitions de PGCD et de PPCM, puis nous verrons ce que devient la notion de primalité, dans le cas n>2.

P.G.C.D.

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

Il existe un unique entier positif d tel que a1Z+...+a2Z=dZ.

Voir démonstration

On le note d = PGCD(a1,...,an).

P.P.C.M.

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

Il existe un unique entier positif m tel que a1Z...anZ = mZ

Voir démonstration

Extension de la notion de primalité

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

Si PGCD(a1, ..., an) = 1, les (ai) sont dit premiers dans leur ensemble

Si, i  j, PGCD(ai,aj) = 1, les (ai) sont dits premiers deux à deux.

- Propriétés générales

- Proposition :

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

Posons d = PGCD(a1, ..., an).

d est le plus grand entier divisant, pour tout i appartenant à [[1, n]], ai.

Voir démonstration

- Proposition :

Soient a1, ..., an,n entiers relatifs.

Posons m = PPCM(a1, ..., an).

M est le plus petit entier multiple, pour tout i appartenant à [[1, n]], ai.

Voir démonstration

- Proposition :

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

Si les a1, ..., an sont premiers deux à deux, alors ils sont premiers dans leur ensemble

Voir démonstration

Remarque :

La réciproque est fausse.

En effet, si on considère

- Généralisation de propriétés vues dans le cas n=2.

Proposition :

Soient a1, ..., an n entiers relatifs.

Soit a un entier relatif.

Alors PGCD(a.a1,...,a.an) = |a|.PGCD(a1, ..., an)

Voir démonstration

On a de même :

PPCM(a.a1, ...,a.an) = |a|.PPCM(a1, ..., an)

Voir démonstration

Théorème de Bezout généralisé.

Soient a1, ..., an n entiers relatifs.

Alors, (a1, ..., an) sont premiers dans leur ensemble si et seulement s'il existe u1, .., un, n entiers relatifs tels que :

a1.u1 + ... + an.un = 1.

Voir démonstration

Relation entre premiers deux à deux et premiers entre eux.

Proposition :

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs

Si les (a1, ..., an) sont premiers deux à deux, alors

PPCM(a1, ..., an) = |a1.a2. ...,an|

? ? ? Remarque :

Soient a1, ..., an, n entiers relatifs.

On n'a plus la relation :

PPCM(a1, ..., an).PGCD(a1, ..., an) = | a1.a2...an |.

En effet,