Enoncé:
Soit (G,+) un groupe quelconque. Soient x et y deux
éléments de G. Alors -(x+y)=(-y)+(-x).
Démonstration:
(x+y)+((-y)+(-x))=x+((y+(-y))+(-x))=x+(0+(-x))=x+(-x)=0
((-y)+(-x))+(x+y)=(-y)+(((-x)+x)+y)=(-y)+(0+y)=(-y)+y=0
Enoncé:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes; soit f un morphisme de
groupes de G dans H.
- f(0G) = 0H
x
G , f(-x) = -f(x)
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G.
f(x) = f(x+0G) = f(x) +
f(0G)
f(0G) = f(x) - f(x) =
0H
- f(x) + f(-x) = f(x-x) =
f(0G) = 0H donc f(-x) =
-f(x)
Enoncé:
Si (G,+) et (H,*) sont deux groupes quelconques, et si f
est un isomorphisme de G sur H, alors f-1 est un
isomorphisme de H sur G.
Démonstration:
Si f est un isomorphisme, alors f est une bijection,
donc f-1 aussi. Il suffit de montrer que
f-1 est un morphisme de groupes.
Soient x et y deux éléments quelconques de H. On a
alors:
f(f-1(x)+f-1(y)) =
f(f-1(x)) +
f(f-1(y)) = x + y
D'où:
f-1(x) + f-1(y) =
f-1(x+y)
f-1 est donc un isomorphisme de groupes de H sur G.
Enoncé:
Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l'élément neutre.
Démonstration:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes et f un morphisme de G
dans H.
- Si f est injectif, alors 0H n'admet qu'un
seul antécédent; c'est 0G.
- Supposons kerf réduit à 0G.
Soient x et y deux éléments de G ayant la même
image z par f. Alors f(x-y) = f(x) -
f(y) = z - z = 0H, donc x - y = 0G,
c'est à dire x = y. Donc f est injectif.
Enoncé:
Soit (Gi,+i)i
I une
famille de groupes. On note G l'ensemble produit
Gi et + la loi de composition interne sur G
définie par x+y=(xi+iyi)i
I,
où x=(xi)i
I et y=(yi)i
I sont
des éléments de G. Alors le magma (G,+) ainsi
défini est un groupe.
Démonstration:
Vérifions les quatre axiomes de la définition:
- (G,+) est un magma par construction.
- Notons, pour tout i
I, 0i
l'élément neutre de (Gi,+i),
et notons 0 l'élément de G défini par
0=(0i)i
I. Soit de plus un élément
x=(xi)i
I de G. On a alors:
0+x=(0i+ixi)i
I=(xi)i
I=x
x+0=(xi+i0i)i
I=(xi)i
I=x
0 est donc un élément neutre de + dans G.
- Soient x, y et z trois éléments de G:
x=(xi)i
I, y=(yi)i
I,
z=(zi)i
I. On a:
(x+y)+z=((x+y)i+zi)i
I=((xi+yi)+zi)i
I=(xi+(yi+zi))i
I=(xi+(y+z)i)i
I=x+(y+z)
La loi + est donc associative sur G.
- Soit x=(xi)i
I un élément
quelconque de G. Notons y=(-xi)i
I.
On a:
x+y=(xi+(-xi))i
I=(0i)i
I=0
y+x=((-xi)+xi)i
I=(0i)i
I=0
x est donc symétrisable pour la loi +.
Enoncé:
Soient (G,+) un groupe quelconque et H une partie de G. (H,+) est
un sous-groupe de (G,+) si et seulement si H est non vide et
(x,y)
H2 , x-y
H.
Démonstration:
- Remarquons d'abord que si H est une partie non vide de G, et
si un élément x de H admet un symétrique dans
H, alors les symétriques de x dans G et dans H sont
égaux (en effet, la relation x+(-x)=(-x)+x=0 reste vraie
que l'on considère x et -x comme éléments de
G ou de H, et donc le symétrique de x dans H est aussi
l'unique
symétrique de x dans G).
- Supposons que (H,+) est un sous-groupe de (G,+). Alors (H,+)
est un groupe, donc H est non vide et si on se donne deux
éléments x et y de H, alors (-y)
H et
x-y=x+(-y)
H.
- Réciproquement, supposons que H soit non vide et que
pour tous éléments x et y de H, x-y appartienne
à H.
Alors l'élément neutre de la loi + (noté 0)
appartient à H car si x est un élément de H,
on peut écrire 0=x-x.
Donc si x est un élément quelconque de H, alors
(-x)=0-x
H, et si x et y sont de éléments de H,
alors x+y=x-(-y)
H.
On a montré que (H,+) est un magma dont la loi admet un
élément neutre et dont tout élément
est symétrisable. Il reste à montrer que la loi +
est associative sur H, ce qui est évident car elle l'est
sur G, qui est un sur-ensemble de H.
Enoncé:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques et f un
morphisme de groupes de G dans H. Alors kerf est un
sous-groupe de G et Imf est un sous-groupe de H.
Démonstration:
- kerf est un sous-ensemble non vide de G (il contient
0G).
Soient x et y deux éléments de kerf.
f(x-y) = f(x) - f(y) = 0H -
0H = 0H
x-y
kerf; donc kerf est un sous-groupe de
G.
- Imf est un sous-ensemble non vide de H (il contient
0H).
Soient z et t deux éléments quelconques de
Imf; il existe deux éléments x et y de G tels
que z=f(x) et t=f(y).
z-t = f(x) - f(y) = f(x-y)
Imf
Donc Imf est un sous-groupe de H.
Enoncé:
Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G,
xRdy
(x-y)
H
La relation Rd est une relation d'équivalence.
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G. Alors
x-x=0
H, donc xRdx; la relation Rd
est réflexive.
- Soient x et y deux éléments quelconques de G.
Supposons xRdy. Alors x-y
H;
(H,+) étant un groupe, il vient y-x=-(x-y)
H.
Donc yRdx; Rd est symétrique.
- Soient x, y et z trois éléments quelconques de
G. Supposons xRdy et yRdz. Alors
xRdz; en effet, x-z est la somme de deux
éléments de H: x-z=(x-y)+(y-z). La relation
Rd est donc transitive.
Enoncé:
Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G,
xRgy
(-x+y)
H
La relation Rg est une relation d'équivalence.
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G. Alors
-x+x=0
H, donc xRgx; la relation Rg
est réflexive.
- Soient x et y deux éléments quelconques de G.
Supposons xRgy. Alors -x+y
H;
(H,+) étant un groupe, il vient -y+x=-(-x+y)
H.
Donc yRgx; Rg est symétrique.
- Soient x, y et z trois éléments quelconques de
G. Supposons xRgy et yRgz. Alors
xRgz; en effet, x-z est la somme de deux
éléments de H: -x+z=(-x+y)+(-y+z). La relation R est
donc transitive.
Enoncé:
Soient x et y deux éléments quelconques de G. On
a:
xRgy
h
H , y = x + h
Démonstration:
- Supposons d'abord xRgy.
Alors -x+y
H; posons h = -x + y
On a bien y = x + h et h
H
- Réciproquement, supposons:
h
H , y = x + h
Alors -x + y = h
H, donc xRgy
Enoncé:
Soient x et y deux éléments quelconques de G. On
a:
xRdy
h
H , y = h + x
Démonstration:
- Supposons d'abord xRdy.
Alors y - x
H; posons h = y - x
On a bien y = h + x et h
H
- Réciproquement, supposons:
h
H , y = h + x
Alors y - x = h
H, donc xRdy
Enoncé:
Soient (G,+) un groupe et (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Les assertions suivantes sont équivalentes:
- Les relations Rg et Rd
coïncident sur G
x
G , x + H = H + x
x
G , x + H
H + x
x
G , x + H - x = H
x
G , x + H - x
H
- Il existe un groupe G' et un morphisme de groupes de G dans G'
de noyau H.
Démonstration:
Les implications ii
iii et iv
v sont triviales. Les
équivalences ii
iv et iii
iv également.
Deux relations d'équivalence coïncident si et
seulement si elles ont les mêmes classes d'équivalence,
donc i
ii.
Supposons que la propriété iii est
vérifiée.
Soit x un élément quelconque de G. La
propriété iii appliquée à -x donne:
-x + H
H - x, c'est à dire:
h
H ,
h'
H , -x + h = h' - x
d'où:
h
H ,
h'
H , h + x = x + h'
c'est à dire H + x
x + H.
L'inclusion inverse est donnée par la propriété
iii, donc H + x = x + H.
On a ainsi montré l'implication iii
ii.
Il reste à montrer l'équivalence entre la
propriété vi et les autres.
Supposons la propriété vi
vérifiée.
Soient (G',+) un groupe et f un morphisme de (G,+) dans
(G',+), de noyau H.
Soient x un élément quelconque de G et h un
élément de H.
On a: f(x + h - x) = f(x) + f(h) - f(x) =
f(x) + 0G' - f(x) = f(x) -
f(x) = 0G'
Donc x + h - x
Ker f = H.
Cette inclusion ne dépend pas du choix de h; donc h + H -
x
H.
On a montré l'implication vi
v. L'implication réciproque
est démontrée dans le corps de l'article, avec la
construction des groupes-quotients.
Enoncé:
Posons
(x,y)
G2 , (x+H) + (y+H) = (x+y) + H
Cette définition ne dépend pas du choix des
représentants x et y de x+H et y+H; elle définit une
loi de composition interne sur G/H.
Démonstration:
- Montrons que la définition est indépendante du
choix de x comme représentant de x+H. Soit x' un autre
représentant de x+H; montrons que H + (x+y) = H +
(x'+y).
Soit z
(x+y) + H. Alors z
H + (x+y), donc (x+y)-z
H.
Alors (x'+y)-z=x'+(-x+x)+y-z=(x'-x)+(x+y)-z. Or par
hypothèse x'
H+x, donc x'-x
H.
(H,+) étant un groupe, il vient (x'+y)-z
H,
c'est à dire z
H + (x'+y). On a donc H + (x+y)
H +
(x'+y). Par symétrie des rôles de x et x', on a
l'inclusion inverse, donc H + (x+y) = H + (x'+y).
- Montrons que la définition est indépendante du
choix de y comme représentant de y+H. Soit y' un autre
représentant de y+H; montrons que (x+y) + H = (x+y') +
H.
Soit z
(x+y) + H. Alors z-(x+y)
H.
Or z-(x+y')=z-(x+y)+(-y+y'). Par hypothèse, y'
y+H, donc -y+y'
H. (H,+) étant un groupe,
il vient z-(x+y')
H, c'est à dire z
H +
(x+y'). On a donc H + (x+y)
H + (x+y'). Par symétrie
des rôles de y et y', on a l'inclusion inverse, donc (x+y) +
H = (x+y') + H.
- La définition ne dépend donc pas du choix de x
et de y comme représentants de leurs classes; elle a bien
un sens. On a bien défini une loi de composition interne
sur G/H: soient X et Y deux éléments de G/H, alors
on peut écrire X=cl(x) et Y=cl(y), et X+Y=cl(x+y)
H.
Remarque :
La démonstration utilise le fait que H est un
sous-groupe distingué car on prend pour classes
d'équivalence indifféremment les x+H ou les H+x.
Enoncé:
(G/H,+) est un groupe.
Démonstration:
- On a montré que (G/H,+) est un magma.
- Remarquons d'abord que H = H + 0; en effet,
x
G ,
x
H
(x-0)
H. On a par définition de la loi +
sur G/H, pour tout élément x de G:
(x+H) + H = (x+H) + (0+H) = (x+0) + H =x + H
H + (H+x) = (H+0) + (H+x) = H + (0+x) = H + x
La loi + admet donc H comme élément neutre sur G/H.
- Soient X, Y et Z trois éléments de G/H; soient
x, y et z trois éléments de G tels que X = x+H, Y=
y+H, Z = z+H. On a alors:
(X+Y) + Z = ((x+H)+(y+H)) + (z+H) = ((x+y)+H) + (z+H) = ((x+y)+z)
+ H = (x+(y+z)) + H = (x+H) + ((y+z)+H) = (x+H) + ((y+H)+(z+H)) =
X + (Y+Z)
La loi + est associative sur G/H.
- Soient X un élément de G/H, et x un
élément de G tel que X = x+H. Notons Y = (-x)+H.
Y + X = (-x+H) + (x+H) = (-x+x) + H = 0 + H = H
X + Y = (x+H) + (-x+H) = (x-x) + H = 0 + H = H
X est symétrisable, de symétrique Y.
Enoncé:
Le noyau de l'application s:G
G/H,x
x+H, est H.
Démonstration:
- Soit x
kers. Alors x+H = H; en particulier, H
étant un groupe, il contient 0, donc
h
H , x+h = 0. Donc -x
H;
H étant un groupe, x
H. On a donc kers
H.
- Soit x
H. Alors
h
H , x+h
H,
donc x+H
H. Réciproquement,
h
H,
h = (x-x)+h = x+(-x+h)
x+H, donc H
x+H;
donc H=x+H. Donc x
kers; finalement, on a H
kers et H=kers.
Enoncé:
Démonstration: