Cet article comporte toutes les démonstrations aux résultats
internes à l'article d'arithmétique sur les nombres
particuliers.
- Enoncé
Soit a un entier naturel.
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
an - 1 premier ( a = 2 et n est premier
)
- Démonstration
Soit a un entier naturel.
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
On a an - 1 premier.
Nous allons tout d'abord montrer qu'il vient alors forcément
a = 2, puis nous démontrerons que si 2n - 1 est premier,
alors n est premier.
On voit tout d'abord que a 0 et a 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers.
Comme a 1, en appliquant la formule sur la somme partielle d'une série géométrique, il vient :
an - 1 = (a - 1).(a0 + a1 + a2 + ... + an-1)
Comme an - 1 est premier par hypothèse, l'un des deux facteurs vaut 1 ou -1.
Examinons chaque possibilité :
(a0 + a1 + a2 + ... + an-1) = -1 a < 0, ce qui est absurde.
(a0 + a1+ a2 + ... + an-1) = 1 a = 0, ce qui est absurde.
(a - 1) = -1 a = 0, ce qui est absurde.
(a - 1) = 1 a = 2.
Il vient donc, comme unique solution, a = 2.
On a donc 2n - 1 qui est premier; montrons qu'alors n est premier.
Supposons que n soit un nombre composé; il vient alors
(k,h) (N-{1})² / n = k.h
On peut, ici encore, appliquer la formule sur la somme partielle d'une série géométrique :
2n - 1 = (2k)h - 1 = (2k - 1).((2k)0 + 2k + ... + (2k)h-1 )
Comme 2n - 1 est premier, l'un des deux facteurs vaut 1 ou -1.
Le cas -1 étant éliminé car les deux facteurs sont positifs, il reste
Soit (2k - 1) = 1 et alors k = 1, ce qui est absurde par hypothèse.
Soit ((2k)0 + 2k
+ ... + (2k)h-1 ) = 1
et alors h = 1, ce qui est aussi absurde.
On aboutit à une absurdité dans tous les cas, donc le nombre n ne peut être composé.
D'où
n est premier.
Ouvrir le cours sur la divisibilité.
Ouvrir le cours sur les séries.
- Enoncé
Soit p un nombre premier.
Les diviseurs de Mp sont de la forme 2.k.p
+ 1, avec k N.
- Démonstration
- Enoncé
Soit p un nombre premier.
Si p est de la forme 4.k + 3 ( avec k N* ) et si 2.p + 1 est premier,
alors Mp n'est pas premier.
- Démonstration
- Enoncé
Soit la suite définie comme suit :
Y0 = 2
n N, Yn+1 = 2.(Yn)²
- 1
Pour n 3, on a alors :
2n - 1 est premier (2n - 1) | Yn-2
- Démonstration
Aucune idée.
- Enoncé
Soit n un entier naturel non nul.
Si 2n + 1 est premier alors n est une puissance de 2.
C'est donc un nombre de Fermat.
- Démonstration
- Enoncé
Soient n et m deux entiers naturels différents.
Fn et Fm sont premiers
entre eux.
- Démonstration
- Enoncé
Soit n et q deux entiers naturels.
Si q est un diviseur premier de Fn, alors
q est de la forme 2n+1.k + 1.
- Démonstration
- Enoncé
Soit n un entier naturel non nul.
Fn est premier
- Démonstration
- Enoncé
Soit a un entier naturel.
Si a s'écrit sous la forme 2n.(2n+1 - 1) et si 2n+1 - 1 est premier,
alors a est parfait.
- Démonstration
- Enoncé
Soit a un nombre parfait.
Si a est pair, alors a est de la forme 2n.(2n+1
- 1) avec 2n+1 - 1 premier.
- Démonstration
- Enoncé
Toute puissance de 2 est un nombre presque parfait
- Démonstration