DEVELOPPEMENTS LIMITES USUELLES
******************************** en 0 ******************************
sin (x) = x - x3/3! + x5/5! + ... + (-1)p x2p+1/(2p+1)! + o(x2p+1)
cos (x) = 1 - x2/2! + x4/4! + ... + (-1)p x2p/(2p)! + o(x2p)
tan (x) = x + x3/3! + 2x5/15 + o(x6)
sh (x) = x + x3/3! + x5/5! + ... + x2p+1/(2p+1)! + o(x2p+1)
ch (x) = 1 + x2/2! + x4/4! + ... + x2p/(2p)! + o(x2p)
th (x) = x - x3/3! + 2x5/15 + o(x6)
1/(1-x) = 1 + x + ... + xn + o(xn)
1/(1+x) = 1 - x + ... + (-1)n xn + o(xn)
ln (1+x) = x - x2/2 + ... + (-1)n+1 xn/n + o(xn)
ln (1-x) = -x - x2/2 - ... - xn/n + o(xn)
exp (x) = 1 + x + x2/2! + ... + xn/n! + o(xn)
(1+x)
a = 1 + ax +
+ o(xn)
Arctan (x) = x - x3/3 + ... + (-1)n x2n+1/(2n+1) + o(x2n+1)
Arcsin (x) =
Pour déterminer le développement limité d'une fonction en a ¹ 0, il faut faire le changement de variable y = x - a , ce qui permet d'obtenir une fonction de y dont on cherche le développement en 0. On peut aussi mettre un terme en facteur.
Exemples:
exp (cos x) = exp (1- x2/2 + o(x3)) = e exp(- x2/2 + o(x3)) = e ( 1 - x2/2 + o(x3))