I. Introduction
- Définition
- Autre expression de l'intégrale elliptique
de premier ordre
- Autre expression de l'intégrale elliptique
de second ordre
II. Apparition des intégrales elliptiques
- Période d'un pendule
- Une intégrale apparemment simple
- Périmètre de la lemniscate
- Périmètre d'une ellipse
- Longueur d'une sinusoide
III. Simplification des intégrales elliptiques
- Cas triviaux
- Combinaison avec la moyenne aritmético-géométrique
- Relation entre I et J
IV. Développement sur les intégrales elliptiques
- Définition
Les intégrales elliptiques sont de deux sortes.
L'intégrale elliptique du premier ordre I est définie pour 0 < b < a
L'intégrale elliptique du second ordre J est définie pour 0<b<a
Ces intégrales ne sont pas résolubles
pas les moyens habituels. Néanmoins, on sait en dire quelques
chose.
On définit aussi L(a,b), qui nous sera très utile pour étudier les intégrales elliptiques
- Autre expression de l'intégrale elliptique
de premier ordre
Par exemple, opérons le changement de variable sur I(a,b)
Comme , c'est bien un R-difféomorphisme, donc un changement de variable.
On a alors
or on a :
et donc (par parité de la fonction sous le
signe somme) :
- Autre expression de l'intégrale elliptique
de second ordre
De même, opérons le changement de variable sur J(a,b)
Comme , c'est bien un R-difféomorphisme, donc un changement de variable.
Ça donne a peu près, mais c'est vraiment pas sur, faudrait que
je regarde un de ces quatre. :-)
II. Apparition des intégrales elliptiques
Ce chapitre a pour rôle de montrer comment
sont apparues ces intégrales dans l'histoire des mathématiques
et de la physique.
- Période d'un pendule
Il s'agit de résoudre exactement le calcul de la période d'oscillation d'une masse m attachée au bout d'un fil inextensible de longueur l. On néglige tous les frottements.
Le pendule a une amplitude de . Soit P, le point maximum atteint par le pendule, et Q, le point courant (angle théta). La conservation de l'énergie entre P et Q nous donne la relation :
Pour calculer la période, on cherche a calculer
On opère alors le changement de variable , qui nous montre que
Ce qui montre que la période exacte n'est
pas calculable avec les outils traditionnels, et explique qu'on
ne résolve jamais exactement la période d'un pendule.
(rappel : les physiciens opèrent un développement
limité)
- Une intégrale apparemment simple
Un des problèmes qui furent posés aux cours des siècles au mathématiciens fut de calculer l'intégrale . Pour qui connaît ses dérivées usuelles, le cas n=2 est trivial. Beaucoup plus dur est le cas n=4, en effet le changement de variable nous montre que
Ce qui nous permet d'affirmer que cette intégrale
n'est pas résoluble avec les fonctions usuelles.
- Périmètre de la lemniscate
La lemniscate de Bernoulli est la figure qui a donné naissance au signe infini. Elle a pour équation polaire
Par définition, le périmètre de la lemniscate est donc de :
Le changement de variable
nous montre alors que , (voir question
précédente), et que donc, on se retrouve encore
ici avec une intégrale elliptique.
- Périmètre d'une ellipse
Il est paradoxale de voir a quel point l'aire d'une
ellipse généralise très bien l'aire d'un
cercle, tandis que son périmètre, comme nous allons
le voir, se rapporte à une intégrale elliptique.
L'ellipse, comme chacun sait, et la courbe dont les
points vérifient l'équation x2/a2+
y2/b2=1 , que l'on peut paramétrer
par (a.sin(), b.cos()), de telle manière que
Bien entendu, j'imagine que c'est de cet exemple
que vient le nom d'intégrale elliptique.
- Longueur d'une sinusoide
La longueur d'une sinusoide y=sin(x), est
III. Simplification des intégrales elliptiques
- Cas triviaux
On a évidemment :
- Combinaison avec la moyenne aritmético-géométrique
La combinaison de la moyenne de Gauss et des intégrales
elliptiques du premier ordre donne un résultat étonnant.
Ouvrir l'article sur la moyenne de Gauss
Soit donc a et b deux réels vérifiant 0<b<a. On cherche à calculer l'intégrale elliptique associée a un couple (an+1,bn+1) de la suite arithmético-géométrique.
Soit donc
On opérant le changement de variable qui donne
on a alors
ce qui nous donne :
On a donc, nN , et par continuité
Ce résultat fondamental nous permet de calculer
les intégrales elliptiques aussi rapidement que les moyennes
arithmétiques.
- Relation entre I et J
Le changement de variable
sur la fonction L(a,b) nous montre que
On obtient donc la relation L(a,b)+L(b,a)=I(a,b),
qui est l'intérêt de cette fonction L.
L'article sur Gauss-Salamin nous montre la formule
suivante
où , et
Les suites a et b étant les suites définit
pour calculer la moyenne arithmético-géométrique,
ou moyenne de Gauss, qui fait également l'objet d'un article.
Ouvrir l'article sur l'algorithme sur Gauss-Salamin
Ouvrir l'article sur la moyenne de Gauss
Tout cela est très lié, mais ne méritait
pas un seul article pour tout.
On a alors :
= a2. I(a,b)- J(a,b)
IV. Développement sur les intégrales
elliptiques
Elles sont utilisées dans un algorithme pour
calculer pi avec beaucoup de décimales, article auquel
j'ai déjà fait allusion.
Ouvrir l'article sur l'algorithme de Gauss-Salamin