I. Enoncé et historique
II. Démonstrations géométriques
III. Démonstrations littérales
On considère un carré ABCD, dans lequel est inscrit
un autre carré EFGH.
( Pour cela, on fixe E sur [AB], puis on construit F sur [BC]
tel que BF = AE et FC = EB, et on construit de même G sur
[DC] et H sur [DA]).
Posons m = AE, n = EB et k = HE.
On obtient la figure suivante :
On a alors AB = m + n
La démonstration s'appuie sur le calcul de l'aire de ABCD
de deux manières différentes afin d'identifier les
deux résultats.
- Aire de ABCD = (côté du carré)² = (m
+ n)² = m² + n² + 2.m.n
- Mais cette aire est aussi la somme des aires des triangles AEH,
EBF, FCG et GDH et de celle du carré EFGH.
Les triangles AEH, EBF, FCG et GDH sont des triangles rectangles
identiques dont les côtés de l'angle droit sont de
mesure m et n. L'aire d'un triangle est donc de
et celle des quatre triangles réunis de 2.m.n.
L'aire de EFGH étant de k², on obtient alors :
Aire de ABCD = 2.m.n + k²
Identification :
Aire de ABCD = m² + n² + 2.m.n = 2.m.n + k²Soit k² = m² + n², ce qui est bien le théorème de Pythagore puisque AEH est un triangle rectangle en A, d'hypoténuse k et dont les autres côtés sont m et n.
Première version : 05/12/96
Auteur : Pascal Audoux
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