I. Généralités
II. Divisibilité par 2
III. Divisibilité par 5
IV. Divisibilité par 3
et par 9
V. Divisibilité par 7
VI. Divisibilité par 11
VII. Divisibilité par 13
VIII. Divisibilité par
17
IX. Divisibilité par 19
Cet article a pour but de présenter des critères de divisibilité par les premiers nombres. Ces critères sont bien entendu démontrés, tout en essayant de faire ressortir les méthodes qui ont permis de les trouver. Pour des raisons évidentes, la plupart de ces critères concernent des nombres premiers (sauf le cas n = 9). Les résultats employés ici sont élémentaires et ne nécessitent pas de grandes connaissances sur la divisibilité (voir cours de divisibilité). En raison de leur caractère local, les démonstrations ne seront pas séparées des énoncés.
Les démonstrations seront faites dans N
car un entier relatif a les mêmes diviseurs que sa valeur
absolue qui, elle, appartient à N
(voir démonstration).
Pour ne pas confondre un nombre avec son écriture dans sa décomposition en base 10, on notera le nombre pour lequel a0 est le chiffre des unités, a1 celui des dizaines, etc.
On a ainsi = a0.1 + a1.10 + ... + an.10n
Il faut tout d'abord noter que si a et b divisent un entier naturel N donné, il ne vient pas automatiquement que a.b divise cet entier N.
Néanmoins il faut rappeler le résultat suivant :
Soit N un entier naturel.
Si a et b sont deux diviseurs de N et que PGCD(a, b) = 1, alors a.b divise N.
En effet, si a | N, alors il existe un autre entier relatif c, tel que N = a.c
On a aussi b | N, donc b | a.c. D'après le théorème de Gauss, comme PGCD(a, b) = 1, b divise c. Il existe donc un entier relatif d tel que c = b.d.
On a alors N = a.(b.d) = (a.b).d, d'où
a.b | N
Les nombres se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont les seuls multiples de 2.
(On dit qu'ils sont pairs !).
Tout d'abord remarquons que 0 (= 2.0), 2 (= 2.1), 4 ( = 2.2), 6 ( = 2.3) et 8 ( = 2.4) sont bien divisibles par 2.
Soit A un entier naturel se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8.
La décomposition en base 10 de cet entier s'écrit : avec a0 appartenant à l'ensemble {0, 2, 4, 6, 8}. On peut donc écrire A = ().10 + a0. Comme 10 et a0 sont divisibles par 2, alors A est divisible par 2.
Réciproquement, si a0 n'est pas divisible par 2 alors, comme 10 l'est, A ne peut pas alors être divisible par 2, sans quoi A - ().10 le serait aussi, ce qui est absurde.
Le résultat est bien connu mais la démonstration nécessite quand même des outils assez puissant comme la décomposition en base 10.
Les nombres se terminant par 0 ou 5 sont les seuls multiples de 5.
Soit A un entier naturel se terminant par 0 ou 5.
La décomposition en base 10 de cet entier s'écrit : avec a0 appartenant à l'ensemble {0, 5}. On peut donc écrire A = ().10 + a0. Comme 10 et a0 sont divisibles par 5, alors A est divisible par 5.
Réciproquement, si a0 n'est pas divisible par 5 alors, comme 10 l'est, A ne peut pas alors être divisible par 5, sans quoi A - ().10 le serait aussi, ce qui est absurde.
-C'est la même méthode que pour la divisibilité par 2. Elle est basée sur le fait que 10 est divisible par 2 et 5.
- Comme 2 et 5 sont premiers entre eux alors, d'après le résultat énoncé dans le chapitre I sur la divisibilité par un nombre composé , A est divisible par 2.5 = 10 ssi a0 {0, 2, 4, 6, 8} {0, 5}, c'est-à-dire a0 = 0.
Soit A un enter naturel.
A se décompose en base 10 sous la formeOn a alors :
3 | A 3 | ( an + an-1 + .. + a1 + a0 ) 3 |
9 | A 9 | ( an + an-1 + .. + a1 + a0 ) 9 |
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme
Or = a0 + 10.a1 + 100.a2 + ... + 10n.an
Soit = + 9.a1 + 99.a2 + ... + .an
Donc = + 9.(a1 + 11.a2 + ... + .an )
Comme 9 est divisible par 3 et par 9, il vient alors :
3 | 3 |
9 | 9 |
-Remarques
- Si vous ne savez pas si est divisible par 3 ou 9, vous pouvez réitérer le processus, car est de toutes façon un nombre plus petit que .
- Un moyen simple afin que ne soit
pas un nombre trop grand est de soustraire 9 à chaque
fois que la somme partielle dépasse 10. En effet on retire
à un multiple de 3 et de 9 donc
on ne change pas le fait que le nombre soit divisible ou non par
3 ou 9.
-Tour de Magie
Nous allons présenter ici un " tour de
magie ", qui se base sur cette propriété.
Demandez à votre partenaire de choisir un nombre au hasard.
Ensuite, dites-lui de retirer à ce nombre la somme de ses chiffres.
Au nombre trouvé, faites-lui barrer un chiffre quelconque, autre que 0.
Demandez-lui de vous montrer ce nouveau nombre... et dites-lui
quel chiffre il a rayé.
Explication :
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme
On a démontré précédemment que
= + 9.(a1 + 11.a2 + ... + .an )
Soit - = 9.(a1 + 11.a2 + ... + .an )
Donc - est divisible par 9 et, d'après le théorème que l'on vient de démontrer, la somme de ses chiffres vaut 9. Ainsi, lorsque votre partenaire vous montre le nombre avec le chiffre barré, vous calculez de tête la somme des chiffres puis le nombre qu'il faudrait rajouter pour atteindre un multiple de 9 : c'est le chiffre barré.
Le seul cas qui pose problème est celui ou la somme est divisible par 9 : a-t-il barré un 9 ou un 0 ? Cela impose d'interdire de barrer le 9 ou le 0... Ce problème ne peut pas se poser pour les autres chiffres car tout chiffre différent de 0 additionné de 9 devient supérieur ou égal à 10, donc un nombre à deux chiffres.
-Démonstration
Soit A un entier naturel.
Supposons que 7 | , alors, comme 7 | 21, on a
7 | (-21a0).
Il vient que 7 | 10.( -2.a0).
Comme 7 est premier et que 7 ne divise pas 10, d'après le théorème d'Euclide, il vient :
7 | (-2.a0).
Réciproquement, si 7 | (-2.a0), il divise aussi
10.( -2.a0) = 10. -20.a0.
Comme il divise aussi 21.a0, il divise alors leur somme :
10. +a0 =
D'où :
7 | A ( 7 | - 2.a0
- Remarque
Un autre critère est exposé en remarque du critère de divisibilité par 13.
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme
On a alors
11 | A 11 | - a0
-Démonstration
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme
Soit n en entier relatif.
D'après le cours sur la divisibilité, on sait que
11 | A 11 | ( 11.n - A )
Posons n =
On a alors 11.n - A = 10.n -A + n
10.n - A = 10. - = - = -a0
D'où
11 | A 11 | ( - a0
)
-Remarque
-Ce processus permet de passer d'un nombre de k chiffres à un nombre de k-1 chiffres.
En le répétant, k fois on arrive à un chiffre
appartenant à {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} qui indique
le reste du nombre dans la division par 11. Si ce dernier est
nul, le nombre initial était bien divisible par 11, dans
le cas contraire non. On peut bien entendu s'arrêter dès
qu'on reconnaît un multiple de 11.
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme .
On a alors
19 | A 19 | + 2.a0
Soit A un entier naturel.
Par division euclidienne par 10 de A, on écrit A sous la forme 10.x + y, avec (x, y) Z²
On a alors
19 | 10.x + y 19 | 2.( 10.x + y )
La réciproque est alors assurée par le théorème de Gauss car PGCD(19, 2) = 1.
D'où 19 | 10.x + y 19 | 2.( 10.x + y )
Soit 19 | 10.x + y 19 | 20.x + 2.y
D'après le cours sur la divisibilité, pour tout couple d'entiers relatifs (n, N), on a
19 | N 19 | ( N - 19.n )
En prenant N = 20.x + 2.y et n = x, on a
19 | 20.x + 2.y 19 | ( x + 2.y )
Finalement
19 | A 19 | ( 10.x + y ) 19 | ( x + 2.y )
Tangente n° 29;
Oh, les Maths ! de Yakov Perelman (éd. DUNOD)