Dualité
Dans tout le chapitre, l'espace vectoriel E est de dimension finie.
I) Espace dual de E
Définition :
Une forme linéaire est une application linéaire de E dans k.
L'ensemble des formes linéaires de E est noté E* : c'est le dual de E.
Calcul dans une base :
B
= (e1, ..., en) base de E et x = (x1, ..., xn).Si f est une forme linéaire alors il existe a1, ..., anÎ k tel que : " xÎ E, f(x) = a1x1 + ... + anxn.
Base duale :
Soit fi : E ® k i - ème forme linéaire coordonnée dans la base B.
x ® xi
B
* = (f1, ..., fn) est une base de E* appelé base duale de E.On en déduit dim E* = dim E.
La matrice de f dans B* est la transposée de la matrice de f dans B.
Proposition :
(e1, ..., en)Î E.
(f1, ..., fn)Î E*.
(e1, ..., en) est une base de E dont la base duale est (f1, ..., fn) si et seulement si :
" (i, j)Î [[1, n]]2, fi(ej) = d ij (symbole de Kronecker).
Changement de base :
B
0 une base de E et Bo* sa duale.B
une base de E et B* sa duale.P la matrice de passage de B0 à B et Q la matrice de passage de B0* à B*.
Alors Q = tP-1.
Cas d'un espace euclidien :
fa : E ® r est une forme linéaire sur E.
x ® <a | x>
Tout élément de E* a une écriture unique sous la forme fa.
Orthogonalité :
Soit xÎ E et fÎ E*.
x est orthogonal à f si et seulement si f(x) = 0.
Soit AÌ E.
L'orthogonal de A dans E* est : { fÎ E* / " xÎ A, f(x) = 0}. Il est noté Ao.
Soit AÌ E*.
L'orthogonal de A dans E* est : {xÎ E / " fÎ E*, f(x) = 0}. On le note A0.
Si A est un sous - espace vectoriel de E ou de E* alors A0 est un sous - espace vectoriel de E* ou de E, dim A + dim A0 = dim E et A00 = A.
II) Hyperplan
Définition :
Un hyperplan de E est un sous - espace vectoriel de E de dimension dim E - 1.
H est un hyperplan si et seulement si H0 est une droite de E*.
Propositions :
- fÎ E*, f¹ 0.
f est alors surjective et Ker f est un hyperplan.
- Réciproquement, si H est un hyperplan, alors il existe une forme linéaire tel que H soit son noyau.
- L'équation d'un hyperplan est : a1x1 + ... + anxn = 0 où a1, ..., anÎ k.
- Si a1x1 + ... + anxn = 0 et a'1x1 + ... + a'nxn = 0 sont deux équations cartésiennes du même hyperplan alors il existe p tel que " i; ai = p a'i.
- Les supplémentaires d'un hyperplan sont les droites non contenues dans cet hyperplan.
FIN
Première version : 01/03/98
Auteur : Frédéric Bastok
e-mail :fred_bastok@bugss.org)
Source :
Relecture : Aucune pour l'instant