Le but de cet article est de faire une courte présentation de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, qui est celle la plus couramment utilisée de nos jours. Nous nous contenterons donc de citer les axiomes avec parfois quelques commentaires, mais le rôle de cet article est uniquement de parer au plus pressé et ne constitue en rien une vraie présentation de ces axiomes. Nous espérons le transformer en un vrai cours lorsque les éléments de logique auront été présentés.
(A)( B)
[(A = B) (x)(x
A
x B)]
Cela signifie qu'un ensemble est caractérisé par
les éléments qu'il contient.
Définition d'un ensemble par extension : on écrit tous les éléments de l'ensemble.
Notation : E ={ a, b, c, ..., x }.
(A)( B)( x) [(x A P(x)) x B]
(P est une formule portant sur ensemble de x).
Cela permet de définir de manière unique l'ensemble des éléments de A qui vérifient la propriété P.
Cet axiome est important car il permet de définir rigoureusement les ensembles par sélection, c'est-à-dire avec une formule. En effet, il ne suffit pas d'écrire {x : P(x)} pour définir un tel ensemble, comme l'a montré Bertrand Russel en 1901.
Contre-exemple :
Considérons la propriété P suivante : x x.
Si on définit alors (sans précautions) l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-même, il vient :
( B)( x) [ x B x x]
On prend alors x = B, et il vient :
B B B B
D'où la contradiction...
On peut ainsi créer d'autres paradoxes comme l'ensemble de tous les ensembles.
( a)(
b)( C)(
x) [x C (x = a x = b)]
( A)(
B)( x)[(x B)
( c)((c A) (x c))]
( a)(
B)( x)(x B
x a)
A ( x) [(x A) (x A = )]
Cet axiome permet en particulier de démontrer que :
( x) (x x)
En effet, supposons qu'il existe A tel que A A.
Comme A {A}, A A {A}.
Par l'axiome de fondement, il existe x tel que x {A} et x {A} = .
Comme x {A}, x = A, donc A {A} = .
D'où l'absurdité.
Notons aussi qu'on peut construire une axiomatique qui nie cet
axiome.
( A) [ A ( x)(x A (x {x}) A )]
On en déduit alors l'existence de N.
Ouvrir l'article sur l'axiome du choix.
Laurent Schwartz " Analyse I ".